벡터공식 / 벡터방정식 / 벡터연산

주요 벡터 공식/법칙

 

  ㅇ 경도 연산

     -  ∇(c U)  = c ∇U  (단, C는 상수)

     -  ∇(U + V) = ∇U + ∇V

     -  ∇(U V) = U (∇V) + V (∇U)

     -  ∇(U/V) = [V(∇U) - U(∇V)]/V2

     -  ∇Vn = n Vn-1 ∇V

 

  ㅇ 분배법칙

     - 벡터의 발산에서, 분배 법칙이 성립됨 

        .  ∇·(A + B) = ∇·A + ∇·B

 

     - 벡터의 회전에서, 분배 법칙이 성립됨

        .  ∇×(A + B) = ∇×A + ∇×B

 

  ㅇ ∇(A·B) = (A·∇)B + (B ·∇)A + A ×(∇×B) + B ×(∇×A)

 

  ㅇ ∇·(A × B) = B·(∇×A) - A·(∇×B)

 

  ㅇ ∇·(V A) = V ∇·A + A·∇V

 

  ㅇ 라플라시안

     - 라플라시안 연산자 : 기울기연산자(grad) 및 발산연산자(div)가 복합된 하나의 연산자 

        .  ∇·(∇V) = ∇2V

 

     - 벡터 라플라시안

        .  ∇×∇×A = ∇(∇·A) - ∇2A

 

  ㅇ 벡터 발산

     - 모든 벡터장의 회전(컬)에 대해 취해지는 발산은 항상 0

        .  ∇·(∇×A) = 0

 

  ㅇ 벡터 회전

     - 임의의 기울기 연산에 대해 취해지는 벡터 회전은 항상 0

        .  ∇×(∇V) = 0

 

     - 두 벡터의 외적의 회전

        .  ∇×(A × B) = A (∇·B) - B (∇·A) + (B·∇) A - (A·∇) B

 

     - 스칼라장과 벡터장과의 곱의 회전

        .  ∇×(V A) = ∇V×A + V(∇×A)

 

  ㅇ 삼중곱

     - 스칼라 삼중곱 (Scalar Triple Product)

        .  (A × B)·C = (C × A)·B = (B × C)·A = A·(B x C)

        .  A·(A x B) = 0

 

     - 벡터 삼중곱 (Vector Triple Product,Triple Cross Product)

        .  A × (B x C) = B (A·C) - C (A·B)

        .  (A × B) x C = - A (B·C) + B (A·C)

        .  (A × B) x C = - C x (A × B)