피타고라스 정리

정의[편집]

직각 삼각형의 세 변 ${displaystyle a,b,c}$가 주어졌다고 하자. 또한, ${displaystyle a,b}$가 직각변(즉, 직각의 이웃변), ${displaystyle c}$가 빗변(즉, 직각의 대변)이라고 하자. 그렇다면, 이 세 변 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 피타고라스의 정리라고 한다.

${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

 

피타고라스의 정리: 두 직각변에 얹힌 두 정사각형의 넓이의 합은 빗변에 얹힌 정사각형의 넓이와 같다.

 

직각 삼각형의 직각변 ${displaystyle a,b}$와 빗변 ${displaystyle c}$ 가운데 둘을 알면, 남은 하나를 다음과 같이 구할 수 있으며, 이 식들은 피타고라스의 정리의 한 가지 변형이다.

${displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

${displaystyle a={sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

${displaystyle b={sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$

직각 삼각형의 한 예각을 ${displaystyle A}$라고 하자. 그렇다면, 피타고라스의 정리는 다음과 같은 항등식과 동치이며, 이를 피타고라스 항등식이라고 한다.

${displaystyle sin ^{2}A+cos ^{2}A=1}$

여기서

• ${displaystyle sin }$은 사인이다.
• ${displaystyle cos }$은 코사인이다.
• ${displaystyle sin ^{2}A=(sin A)^{2}}$는 ${displaystyle A}$에 사인을 취한 뒤 제곱을 취한 것이다. ${displaystyle cos ^{2}A=(cos A)^{2}}$ 역시 마찬가지다.

이는 ${displaystyle sin A=a/c}$이며, ${displaystyle cos A=b/c}$라는 점으로부터 다음과 같이 증명할 수 있다.

${displaystyle sin ^{2}A+cos ^{2}A={rac {a^{2}}{c^{2}}}+{rac {b^{2}}{c^{2}}}={rac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}={rac {c^{2}}{c^{2}}}=1}$

이 항등식은 사실 예각뿐 아니라 임의의 각 ${displaystyle A}$에 대하여 성립한다