삼각함수 법칙

사인 법칙

사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

${displaystyle {rac {sin A}{a}}={rac {sin B}{b}}={rac {sin C}{c}}}$

마찬가지로,

${displaystyle {rac {a}{sin A}}={rac {b}{sin B}}={rac {c}{sin C}}=2R}$

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.
 

코사인 법칙

코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

코사인 제 1 법칙에 따르면,

${displaystyle c=bcos A+acos B}$

앙변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos C}$

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

${displaystyle cos C={rac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.
 

탄젠트 법칙

탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

${displaystyle {rac {a+b}{a-b}}={rac { an {{1 over 2}(A+B)}}{ an {{1 over 2}(A-B)}}}}$

삼각함수 미분 에 대하여,

${displaystyle f(x)=sin x,f'(x)=cos x}$

${displaystyle f(x)=cos x,f'(x)=-sin x}$

${displaystyle f(x)=-sin x,f'(x)=-cos x}$

${displaystyle f(x)=-cos x,f'(x)=-(-sin x)=sin x}$

미분과 적분

다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

함수 ${\displaystyle f(x)}$	도함수 ${\displaystyle f'(x)}$	부정적분 ${\displaystyle \textstyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\cos x+C}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle \sin x+C}$
${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \sec ^{2}x}$	${\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}$
${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle -\csc ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}$
${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle \sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \csc x}$	${\displaystyle -\csc {x}\cot {x}}$	${\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}$