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각속도의 정의

🛡 운영자 · 17. 02. 20. PM 01:41(수정됨)

속도와 마찬가지로 먼저, 특정 시간간격

\Delta t = t_2 -t_1

동안 각이 변한 정도

\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1

의 비로부터 평균회전속력

\omega_{\textrm{av}}

를 정의할 수 있다.

\omega_{\textrm{av}} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}

여기서 시간간격을 무한히 줄이면, 즉 각을 시간으로 미분함으로써 순간회전속력 $\omega$ 를 정의할 수 있다.

\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{d t}

유한한 회전은 벡터로 표현이 불가능 하지만, 회전 무한소는 벡터로 표현할 수 있으므로,^[1] 이를 시간 무한소로 나눈것, 즉, 어떤 순간의 각을 시간으로 미분한것을 각속도 $\boldsymbol{\omega}$ 라 한다.

\boldsymbol{\omega} = \frac{d \boldsymbol{\theta}}{d t}

속도와 각속도

회전의 중심으로부터 $\mathbf{r}$ 만큼 떨어진 물체의 속도 $\mathbf{v}$ 와 각속도 $\boldsymbol{\omega}$ 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}

특별히, 물체의 운동이 평면 상에서 이루어지는 경우엔 $\mathbf{r}$ 과 $\boldsymbol{\omega}$ 가 수직이 되어 아래와 같이 각속도에 대해 식을 쓸 수도 있다.

\boldsymbol{\omega} = \frac{\mathbf{r} \times \mathbf{v}}{|\mathbf{r}|^2}