7장 7장 회로기하학

📌 핵심 개념

• 수형도(Tree): 그래프의 모든 절점을 포함하면서 폐경로(Loop)가 없는 부분 그래프
• 수형도 가지 수: 절점 $N$개일 때 N - 1개
• 보수형도 가지(Link/Co-tree): 수형도에 속하지 않는 나머지 가지들
• 기본 폐로(Fundamental Tie-set): 수형도에 Link 1개를 추가해 형성되는 유일한 닫힌 경로
• 기본 컷셋(Fundamental Cut-set): 수형도 가지 1개를 포함하여 그래프를 두 부분으로 나누는 가지 집합
• 연결 그래프: 임의의 두 절점 사이에 항상 경로가 존재하는 그래프

📐 주요 공식

수형도 가지 수

보수형도 가지(Link) 수

독립 KCL 방정식 수 (축소 접속 행렬의 행 수)

독립 KVL 방정식 수 (= Link 수 = 독립 폐로 수)

오일러 공식 (평면 그래프)

축소 접속 행렬 크기

**접속 행렬 $A$와 폐로 행렬 $B$의 직교성**

**컷셋 행렬 $Q$와 폐로 행렬 $B$의 직교성**

🔥 빈출 유형

1. 수형도·Link 가지 수 계산 — 절점 수 $N$, 가지 수 $B$가 주어지면 $t=N-1$, $L=B-N+1$ 대입하는 수치 문제 (예: N=5, B=7 → t=4, L=3)
2. 독립 방정식 수 계산 — KCL 독립 방정식 = $N-1$, KVL 독립 방정식 = $B-N+1$ 직접 계산 (예: N=4, B=6 → KCL 3개, KVL 3개)
3. 행렬의 직교 관계 — $A\cdot B^T=0$, $Q\cdot B^T=0$ 관계식 선택 문제
4. 기본 폐로/컷셋의 방향 결정 기준 — 기본 폐로: Link 방향 기준 / 기본 컷셋: 수형도 가지 방향 기준
5. 축소 접속 행렬 크기 및 계수(Rank) — 크기 $(N-1)\times B$, Rank = $N-1$

💡 학습 팁

• **$L=B-N+1$** 공식 하나로 Link 수·독립 KVL 수·독립 폐로 수·Mesh 수가 모두 동일하게 연결된다는 점을 기억하세요.
• 완전 접속 행렬 $A_a$의 각 열 원소 합은 항상 0 (한 가지는 반드시 한 절점에 들어오고 하나에서 나가므로 +1, -1이 공존).
• 접속 행렬 부호 규약: 가지가 절점에서 나가면 +1, 들어오면 -1, 무관하면 0 — 시험에 자주 출제됩니다.
• 수형도 선택은 유일하지 않지만, 어떤 수형도를 선택해도 $t=N-1$, $L=B-N+1$은 변하지 않습니다.