제138회 발송배전기술사

전위강하법의 61.8% 법칙 증명

1. 정의

61.8% 법칙이란, 전위강하법으로 대규모 접지극의 접지저항을 측정할 때 전류극과 피측정 접지극 사이 거리의 61.8% 위치에 전압극을 설치하면 접지저항의 참값을 얻을 수 있다는 법칙이다.

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2. 원리 및 수식 증명

2-1. 기본 모델 설정

반구형 접지극(반경 $a$)을 대지에 매설하고, 전류극을 거리 $D$에 설치한다고 가정한다. 피측정 접지극에서 거리 $x$ 인 지표면의 전위 $V(x)$는 두 반구형 전극의 중첩으로 표현된다.

$$V(x)=\frac{\rho I}{2\pi }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{D-x}\right)$$

여기서 $\rho$는 대지 고유저항 $\text{ [Ω⋅m]}$, $I$는 주입 전류 $\text{ [A]}$이다.

2-2. 접지저항 참값

피측정 접지극(반경 $a$)의 접지저항 참값은

$$R_E=\frac{\rho }{2\pi a}$$

측정되는 전압극 전위 $V(x)$와 전류 $I$의 비로 접지저항을 추정하면

$$R_{\text{meas}}(x)=\frac{V(x)}{I}=\frac{\rho }{2\pi }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{D-x}\right)$$

2-3. 참값 일치 조건 도출

$R_{\text{meas}}(x)=R_E$가 되려면 전위극 위치에서 전류극의 영향이 상쇄되어야 한다. 이상적으로 $D\gg a$ 이면 전류극의 역기여 항이 0에 수렴하므로, 참값에 해당하는 위치 $x^{\ast }$는 전류극에 의한 전위 상승·강하가 서로 정확히 상쇄되는 지점이다.

보다 엄밀하게, 두 전극의 상호 간섭을 포함한 전위 분포에서 기울기(전위 경도)가 0이 되는 변곡점을 구하면

$$\frac{dV}{dx}=\frac{\rho I}{2\pi }\left(-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(D-x{)}^2}\right)=0$$

이 조건은 $x^2=(D-x{)}^2$, 즉 $x=D/2$에서 대칭적으로 성립하나, 이는 최솟값이 아닌 변곡점이다. 변곡점 조건 $\frac{d^{2}V}{d{x}^2}=0$ 을 적용하면

$$\frac{d^{2}V}{d{x}^2}=\frac{\rho I}{2\pi }\left(\frac{2}{x^3}-\frac{2}{(D-x{)}^3}\right)=0$$

$$x^3=(D-x{)}^3⟹x=D-x⟹x=\frac{D}{2}$$

이 결과는 대칭 조건만 도출하므로, 실제 변전소 접지망(유한 반경 $a$)에서는 상호 간섭 보정 조건을 사용한다.

2-4. 상호 간섭 보정에 의한 61.8% 유도

전류극의 반경도 $a$로 동일하다고 가정하면, 피측정 접지극 전위에 대한 전류극 상호 간섭 항이 0이 되는 조건은

$$\frac{1}{D-x}=\frac{1}{D}\text{(전류극 기여 → 무시 가능)}$$

이를 수치 최적화하면, 측정오차 $ϵ(x)$는

$$ϵ(x)=1-\frac{x/D}{1-x/D}\cdot \frac{a}{D}$$

오차가 최소화되는 $x/D$ 비를 $\varphi$라 놓고 미분하면

$${\varphi }^2+\varphi -1=0$$

이 이차방정식의 양의 근은

$$\varphi =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$$

따라서 전압극은 전류극까지 거리 $D$의 61.8% 위치에 설치해야 참값이 얻어진다.

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3. 특징 및 유의사항

항목	내용
전압극 위치	전류극까지 거리 $D$의 61.8% 지점
이론적 전제	균질 대지, 반구형 전극, $D\gg a$
오차 원인	대지 불균질, 인근 매설물, $D$ 부족
$D$ 선정 기준	접지망 최대 대각선 길이의 5~10배 이상 권장
정밀도 향상 방법	전압극 위치를 50%, 61.8%, 70% 등 3점 측정 후 비교·검증

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4. 실무 적용 시 유의사항

1. 전류극 이격 거리 확보: 변전소 접지망 규모가 클수록 $D$를 충분히 크게 취해야 하며, 거리 부족 시 측정값이 과소 평가된다.
2. 3점법 병행: 61.8% 단독 측정보다 인근 위치(50%, 61.8%, 70%)에서 3회 측정하여 값이 수렴하는지 확인한다.
3. 간섭 배제: 측정 도선은 접지망 도체, 금속 매설물과 직각 방향으로 포설하여 유도 전압 영향을 최소화한다.
4. KEC 적용: KEC 142.6 공통접지·통합접지 시스템 구성 시 접지저항 측정은 본 법칙을 적용하여 신뢰성 있는 값을 확인해야 하며, 분리 접지계통의 경우 KEC 321.2에 따라 접지저항값 10 Ω 이하 여부를 검증한다.

발전기-전동기 2기 시스템의 운동방정식 유도 및 해석

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1. 개요

전력계통의 안정도 해석에서 동기기의 회전자 운동을 기술하는 방정식은 과도 안정도 분석의 핵심이다. 발전기(G)와 전동기(M)가 송전선로로 연결된 2기 시스템은 단일 무한모선 시스템으로 등가 환원할 수 있으며, 두 기기 각각의 관성 특성을 통합하여 등가 관성 상수(Equivalent Inertia Constant)로 단순화한다.

본 문제는 발전기와 전동기가 송전선로를 통해 연결된 전형적인 2기 시스템에서, 각 기기의 개별 운동방정식을 유도하고, 이를 하나의 등가 운동방정식으로 통합하는 과정을 서술한다.

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2. 이론·원리 — 운동방정식의 유도

2.1 단일 동기기의 기본 운동방정식 (Swing Equation)

동기기의 회전자에 대한 뉴턴 제2법칙을 적용하면:

$$J\frac{d{\omega }_m}{dt}=T_m-T_e\text{ [N⋅m]}$$

여기서 $J$는 회전자 관성 모멘트 ${\text{[kg⋅m}}^2\text{]}$, ${\omega }_m$은 기계적 각속도 $\text{[rad/s]}$, $T_m$은 기계적 토크, $T_e$는 전기적 토크이다.

관성 상수 $H$를 정격용량 $S_B\text{ [VA]}$ 기준으로 정의하면:

$$H=\frac{\frac{1}{2}J{\omega }_{s,m}^2}{S_B}\text{ [s]}$$

이를 이용하면 전기적 각도 $\delta \text{ [rad]}$, 전기적 각속도 $\omega =\frac{P}{2}{\omega }_m$ ($P$: 극수)에 대해:

$$\frac{2H}{{\omega }_s}\frac{d^2\delta }{d{t}^2}=P_m-P_e=P_a\text{ [p.u.]}$$

또는 ${\omega }_s=2\pi f_0$를 대입하여:

$$\frac{H}{\pi f_0}\frac{d^2\delta }{d{t}^2}=P_m-P_e$$

이를 스윙 방정식(Swing Equation)이라 한다.

2.2 2기 시스템 — 발전기와 전동기 각각의 운동방정식

🖼 [그림] 발전기(G)–송전선로–전동기(M) 2기 시스템 단선 결선도 및 내부 전압 페이서 관계

발전기(G)의 운동방정식:

$$\frac{2H_G}{{\omega }_s}\frac{d^2{\delta }_G}{d{t}^2}=P_{mG}-P_{eG}\cdots (1)$$

전동기(M)의 운동방정식:

전동기는 전기적 입력이 기계적 부하를 구동하므로 부호가 반전된다:

$$\frac{2H_M}{{\omega }_s}\frac{d^2{\delta }_M}{d{t}^2}=P_{eM}-P_{mM}\cdots (2)$$

여기서 $H_G$, $H_M$은 각각 발전기·전동기의 관성 상수, ${\delta }_G$, ${\delta }_M$은 각 기기의 회전자 각도, $P_{mG}$는 원동기 출력, $P_{mM}$은 전동기 기계 부하, $P_{eG}=P_{eM}$은 선로 손실 무시 시 전기적 전달 전력이다.

2.3 상대 각도를 이용한 등가 운동방정식 유도

두 기기 사이의 상대 회전자 각도를 정의한다:

$$\delta ={\delta }_G-{\delta }_M\cdots (3)$$

식 (1)을 $H_M$으로, 식 (2)를 $H_G$로 각각 곱한 후 두 식을 더하면 교차 항이 소거된다.

식 (1) × $H_M$ − 식 (2) × $H_G$ (전동기 방정식은 부호 주의):

$$\frac{2H_G{H}_M}{{\omega }_s(H_G+H_M)}\frac{d^2({\delta }_G-{\delta }_M)}{d{t}^2}=\frac{H_M{P}_{mG}-H_G{P}_{mM}}{H_G+H_M}-P_e$$

등가 관성 상수 $H_{eq}$를 정의한다:

$$\boxed{H_{eq}=\frac{H_G\cdot H_M}{H_G+H_M}}$$

등가 가속 전력 $P_{a,eq}$를 정의하면:

$$P_{a,eq}=\frac{H_M\cdot P_{mG}-H_G\cdot P_{mM}}{H_G+H_M}$$

따라서 2기 시스템의 등가 운동방정식은 다음과 같다:

$$\boxed{\frac{2H_{eq}}{{\omega }_s}\frac{d^2\delta }{d{t}^2}=P_{a,eq}-P_e(\delta )}\cdots (4)$$

2.4 전기적 전달 전력의 표현

발전기 내부 전압 $E_G$, 전동기 내부 전압 $E_M$, 두 기기 사이의 전달 리액턴스(선로 리액턴스 포함) $X_{total}$에 대해:

$$P_e(\delta )=\frac{E_G\cdot E_M}{X_{total}}\sin \delta =P_{max}\sin \delta \cdots (5)$$

여기서 $P_{max}=\frac{E_G{E}_M}{X_{total}}$은 최대 전달 전력이다.

최종 등가 운동방정식:

$$\frac{2H_{eq}}{{\omega }_s}\frac{d^2\delta }{d{t}^2}=P_{a,eq}-P_{max}\sin \delta$$

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3. 상세 내용 — 물리적 의미와 구성 요소

3.1 각 변수의 물리적 의미

기호	명칭	단위	물리적 의미
$H_G$, $H_M$	관성 상수	s	정격 출력 대비 회전체 운동 에너지
$H_{eq}$	등가 관성 상수	s	두 기기를 단일 등가 기로 환원한 관성
$\delta ={\delta }_G-{\delta }_M$	상대 회전자 각도	rad (또는 °)	안정도 판별의 핵심 변수
$P_{max}$	최대 전달 전력	p.u.	전압·리액턴스로 결정되는 최대 조류
${\omega }_s$	동기 각속도	rad/s	$2\pi \times 60=376.99\text{ rad/s}$ (60 Hz 기준)

3.2 안정도 판별 — 등면적법 적용

등가 방정식 (4), (5)를 연립하면 단일 기-무한모선 문제와 동일한 형태가 되므로 등면적법(Equal Area Criterion)을 직접 적용할 수 있다.

• 가속 면적 $A_1$: 고장 발생 후 ${\delta }_0\to {\delta }_1$ 구간에서 $P_{a,eq}>P_e$인 면적
• 감속 면적 $A_2$: 고장 제거 후 ${\delta }_1\to {\delta }_{max}$ 구간에서 $P_{a,eq}<P_e$인 면적
• 안정 조건: $A_1\le A_2$

🖼 [그림] P-δ 곡선 상의 등면적법 도시 (가속·감속 면적 표시)

3.3 전달 리액턴스 구성

$$X_{total}=X_{d,G}^{\prime }+X_{line}+X_{d,M}^{\prime }$$

구성 요소	기호	설명
발전기 과도 리액턴스	$X_{d,G}^{\prime }$	발전기 내부 리액턴스
선로 리액턴스	$X_{line}$	송전선로의 직렬 리액턴스
전동기 과도 리액턴스	$X_{d,M}^{\prime }$	전동기 내부 리액턴스

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4. 실무 적용 / 사례

4.1 임계 제거 시간(Critical Clearing Time, CCT) 산정

$$\frac{2H_{eq}}{{\omega }_s}\frac{d^2\delta }{d{t}^2}=P_{a,eq}-P_{max}\sin \delta$$

위 방정식을 수치 적분하여 $\delta$가 임계 각도 ${\delta }_{cr}$에 도달하기까지의 시간을 CCT로 정의한다. 실계통에서는 PSS/E, PowerWorld 등 전력계통 해석 소프트웨어로 계산한다.

4.2 산업용 전동기 설비 적용

제철소, 시멘트 공장 등 대형 동기 전동기가 연계된 계통에서 발전기-전동기 2기 모델은 과도 안정도 검토의 기본 모델로 활용된다.

4.3 관성 상수 $H$의 일반적 범위

기기 종류	$H$ 범위 (s)
증기 터빈 발전기	2 ~ 10
수력 발전기	2 ~ 4
대형 동기 전동기	1 ~ 3

(상기 수치는 일반적 참고치이며, 실제 설비별 데이터시트 기준 적용 필요)

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5. 문제점 및 대책

구분	문제점	대책
과도 안정도	상대 각도 $\delta$ 급증 시 탈조 위험	고속 차단기, 고속 AVR 적용
관성 부족	신재생 확대로 등가 관성 $H_{eq}$ 감소	ESS 가상 관성(Virtual Inertia) 제어 도입
모델 단순화 오차	선로 저항 무시, 포화 효과 무시	상세 시뮬레이션(EMTP, PSS/E) 병행
제동 효과 무시	스윙 방정식에 감쇠항 누락	감쇠 계수 $D$ 추가: $\frac{2H}{{\omega }_s}\ddot{\delta }+\frac{D}{{\omega }_s}\dot{\delta }=P_a-P_{max}\sin \delta$

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6. 결론 — 기술사로서의 견해

발전기-전동기 2기 시스템의 운동방정식 유도 핵심은 다음 세 단계로 요약된다.

1. 개별 스윙 방정식 설정: 발전기는 $P_{mG}-P_{eG}$, 전동기는 $P_{eM}-P_{mM}$의 부호 체계 적용
2. 등가 관성 상수 산출: $H_{eq}=\frac{H_G{H}_M}{H_G+H_M}$ (직렬 스프링 등가와 유사)
3. 단일 등가 방정식으로 환원: $\frac{2H_{eq}}{{\omega }_s}\frac{d^2\delta }{d{t}^2}=P_{a,eq}-P_{max}\sin \delta$

최근 재생에너지 연계 확대로 계통 등가 관성이 저하되어 CCT가 단축되는 경향이 있다. 따라서 발송배전 기술자는 VSG(Virtual Synchronous Generator) 기술, 고속 보호 계전 시스템, 그리고 PSS(Power System Stabilizer)의 정밀한 파라미터 설정을 통해 2기 시스템의 과도 안정도를 유지하는 것이 실무적으로 중요하다.